增根和无解的区别

华峰博客 106

解一个分式方程, 有时间会出现增根. 顾名思义, 求出的解多了. 它产生的原因在哪?

我们先看一看初中教材的说法, 例:. 方程两边同乘以, 约去分母, 得. 解这个方程, 得~.

教材在此的解释是:在分式方程形变成整式方程时, 同乘以一个含有未知数的整式, 并约去了分母, 有时可能产生不适合原分式方程的解(或根), 这种根通常叫增根. (怎么不叫增解呢?有待于进一步考证.)

增根和无解的区别

在教学中也举过例子:因为 , 所以 . 因此得 . 从解题角度, 这的确是画蛇添足的做法. 但从理解解方程求解过程来说, 此过程的确展示了解方程的逻辑. 从命题观点看, 通常的解方程过程, 是在找必要条件, 而题目本身是要求出充分必要条件.

与一些教师们交流, 教师们指出上述做法不是恒等变形(或形变). 先不说这几个词来源在哪, 其含义对于初中学生来说是难以领会. 从数学内容上说, 与“出现增根”差不多.

回到最开始的问题:

解方程,

移项并通分, 得 ,

即,

上式成立, 必有分母非零而分子为零, 显然方程无解.

对教材的写法做对比, 我们可以看出增根的出现, 是由于解法不当. 最简单的方程 , 先平方一下的解法也会出现增根.

在分式方程中出现增根, 的确主要原因是由于去分母的过程. 令人不解的是:为什么不介绍给学生用通分、而不去分母的方法呢?况且这时学生恰好刚刚学完分式的基本运算.

验根来避免增根在数学上是正确的, 但带来的负面影响却是:(1)让学生误认为增根是分式方程带来的, (2)让老师忽略了解方程的逻辑.

苏联时期的著名数学教育学者斯托利亚尔, 在讨论学生学习方程的时候, 就反问到:“不知道什么是方程, 也能解方程, 这种技能的价值何在?” 其实在上世纪中期的教学大纲中就有“结合方程与不等式的学习, 自然地给学习介绍逻辑概念”之说.

如何解释方程, 不见得要定论, 但下面的问题是不应该出现的:分式方程  有增根.(1)这个增根是什么?(2)求m 的值.

增根是由于方法不当而出现, 这一点要明确.

与之相关, 有人提出这样的问题:与联立并消元得, 由韦达定理得,为什么会有负值?从图像上, 我们不难想出抛物线与单位圆有两个交点. 而由对称性, 两交点的纵坐标是正数. 其实, 解方程还要明确解所在的数集, 在实数集中有两组解, 而在复数中有四组解. 在复数集中, 关系式 是没错的.

一次方程组的解的结构, 数学家们早已理解清楚了. 更高次的多项式方程组(分式方程组也导出这类方程组), 解的个数是多少?这其实一个数学上的大问题, 著名数学家希尔伯特在上世纪初提出了引领数学发展的23个问题, 其中的第15问题就是针对高次的多项式方程组:解有多少, 如何系统地求解?

上一篇:

下一篇:

  推荐阅读

分享